已知函数f(x)=sin(x+π6)+2sin2x2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若f(A)

已知函数f(x)=sin(x+π6)+2sin2x2.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若f(A)

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,若f(A)=
3
2
,△ABC的面积S=


3
2
,a=


3
,求sinB+sinC的值.
答案
(本小题满分12分)
(Ⅰ)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
=


3
2
sinx+
1
2
cosx+1-cosx
=


3
2
sinx-
1
2
cosx+1=sin(x-
π
6
)+1,…(4分)
∵正弦函数的单调递增区间为[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z),
∴2kπ-
π
2
≤x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
解得:2kπ-
π
3
≤x≤2kπ+
3
(k∈Z),
则函数f(x)的单调递增区间是[2kπ-
π
3
,2kπ+
3
](k∈Z);…(6分)
(Ⅱ)由f(A)=
3
2
,得到sin(A-
π
6
)+1=
3
2
,即sin(A-
π
6
)=
1
2

∵0<A<π,∴A=
π
3
,…(7分)
∵面积S=
1
2
bc•sinA=


3
2

∴bc=2,…(8分)
∵a2=b2+c2-2bc•cos
π
3

∴a2=(b+c)2-3bc,
又a=


3
,bc=2,
∴b+c=3,…(10分)
b
sinB
=
c
sinC
=
a
sinA
=2,
∴sinB=
b
2
,sinC=
c
2

∴sinB+sinC=
b
2
+
c
2
=
b+c
2
=
3
2
.…(12分)
举一反三
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知bcosC=(2a-c)cosB.
(1)求角B的大小;
(2)若a,b,c成等比数列,试确定△ABC的形状.
题型:不详难度:| 查看答案
△ABC中,2A=B+C,a=2b•cosC,则三角形的形状为(  )三角形.
A.直角B.直角等腰C.等腰三角形D.等边三角形
题型:不详难度:| 查看答案
已知5sin4α=sin4°,则
tan(2α+2°)
tan(2α-2°)
的值是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=cos(2x+
π
3
)+sin2x-cos2x+2


3
sinx•cosx
(1)求函数f(x)的单调减区间;       
(2)若x∈[0,
π
2
],求f(x)的最值;
(3)若f(α)=
1
7
,2α是第一象限角,求sin2α的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=sin(x-
π
3
)+


3
cos(x-
π
3
).
(1)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;
(2)设函数g(x)=(1+sinx)f(x),求g(x)的值域.
题型:不详难度:| 查看答案
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