已知函数f(x)=2cosx•sin(x+π3)-3sin2x+sinx•cosx．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将函数f（x）的图象按向量a=(m

题型：解答题难度：一般来源：湖北模拟

已知函数f(x)=2cosx•sin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinx•cosx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象按向量

a

=(m，0)平移，使得平移之后的图象关于直线x=

π

2

对称，求m的最小正值．

答案

（1）f（x）=2cosx•（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

sin2x+sincosx
=sin2x+

3

cos2x（3分）
=2sin（2x+

π

3

），（4分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z，得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，k∈Z（6分）
故函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；（7分）
（2）由（1）得到函数y=2sin（2x+

π

3

），
此函数按向量

a

=(m，0)平移得到解析式为y=2sin（2x+

π

3

-2m），（8分）
∵y=2sin（2x+

π

3

-2m)的图象关于直线x=

π

2

关于直线x=

π

2

对称，
∴2•

π

2

+

π

3

-2m=kπ+

π

2

（k∈Z）
∴m=-

1

2

(k-1)π-

π

12

（k∈Z）（10分）
当k=0时，m的最小正值为

5

12

π．（12分）