已知函数f(x)=sinx(3cosx-sinx)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若A是锐角三角形△ABC的一个内角，求f（A）的最大值与最小值．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=sinx(

3

cosx-sinx)．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若A是锐角三角形△ABC的一个内角，求f（A）的最大值与最小值．

答案

（1）f(x)=sinx(

3

cosx-sinx)=

3

2

sin2x-

1

2

（1-cos2x）=sin（2x+

π

6

）-

1

2

由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z．…（7分）
（2）由（1）得f（A）=sin（2A+

π

6

）-

1

2

∵A是锐角三角形△ABC的一个内角，得A∈（0，

π

2

）
∴2A+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
结合正弦函数的图象与性质，可得sin（2A+

π

6

）∈（-

1

2

，1]
∴sin（2A+

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]
由此可得，f（A）的最大值为f（

π

6

）=

1

2

，没有最小值…（12分）