在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．（1）试判断△ABC的形状；（2）若△ABC的面积为3，且tanC+2csinAa=

题型：解答题难度：一般来源：不详

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosA=bcosB．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积为

3

，且tanC+

2csinA

a

=0，求a．

答案

（1）由余弦定理得acosA=bcosB可知a•

b2+c2-a2

2bc

=b•

a2+c2-b2

2ac

，
所以a²（b²+c²-a²）=b²（a²+c²-b²），
即（a²-b²）c²=（a²-b²）（a²+b²），（3分）
所以（a²-b²）（c²-a²-b²）=0，所以a=b或c²=a²+b²，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．（6分）
（2）由tanC+

2csinA

a

=0及正弦定理可得

sinC

cosC

+2sinC=0，
而sinC＞0，所以cosC=-

1

2

，所以C=

2π

3

，（8分）
结合（1）可知△ABC必为等腰三角形，且A=B=

π

6

，
故△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

a2•

3

2

=

3

，
所以a=2．（12分）