在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大小;(2)若a=2,求△ABC的面积的最大值,并指出此
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在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,且满足(2b-c)cosA=acosC. (1)求A的大小; (2)若a=2,求△ABC的面积的最大值,并指出此时△ABC的形状. |
答案
∵△ABC中,(2b-c)cosA=acosC. ∴由正弦定理,得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC 化简整理,得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C) ∵△ABC中,A+C=π-B,可得sinB=sin(A+C) ∴2sinBcosA=sinB,结合sinB>0,将两边约去cosB 可得2cosA=1,cosA= ∵A∈(0,π),∴A=; (2)∵a=2,A= ∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得 4=b2+c2-2bccos,即b2+c2-bc=4 ∴b2+c2=4+bc≥2bc,可得bc≤4 又∵△ABC的面积S=bcsinA=bc≤ ∴当且仅当b=c=2时,△ABC的面积的最大值为,此时△ABC是等边三角形. |
举一反三
设函数f(x)=cos(2x+)-cos2x+ (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期; (2)设A、B、C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求角A. |
已知直线l经过点A(cosθ,sin2θ),B(0,1),则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.[0,]∪[,π) | B.[,π) | C.[0,] | D.[,] |
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化简sin(π-α)tan(+α) | cos(2π-α)cot(-α) | =______. |
已知2sin2α-sinαcosα+5cos2α=3,则tanα的值是( ) |
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