已知6sin2α-sinαcosα-cos2α=0，α∈(π2，π)，求sin(2α+π6)的值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知6sin²α-sinαcosα-cos²α=0，α∈(

π

2

，π)，求sin(2α+

π

6

)的值．

答案

由已知得（3sinα+cosα）（2sinα-cosα）=0．
即3sinα+cosα=0或2sinα-cosα=0．…（3分）
因为α∈(

π

2

，π)，所以cosα≠0，tanα＜0．
所以tanα=-

1

3

．…（5分）
sin(2α+

π

6

)=sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

3

sinαcosα+

1

2

(cos2α-sin2α)
=

3 sinαcosα

cos2α+sin2α

+

1

2

•

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

3 tanα

1+tan2α

+

1

2

•

1-tan2α

1+tan2α

．
…（9分）
将tanα=-

1

3

代入上式，
得sin(2α+

π

3

)=

3 •(- 1 3 )

1+(- 1 3 )2

+

1

2

•

1-(- 1 3 )2

1+(- 1 3 )2

=

4-3 3

10

．…（12分）