已知函数f(x)=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3(ω>0),的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若f(α)=
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已知函数f(x)=2sinωxcosωx-23sin2ωx+3(ω>0),的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若f(α)=
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=2sinωxcosωx-2
3
si
n
2
ωx+
3
(ω>0)
,的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若
f(α)=
2
3
,求
cos(4α+
2
3
π)
的值.
答案
(1)因为
f(x)=2sinωxcosωx-2
3
si
n
2
ωx+
3
=sin2ωx+
3
cos2ωx
=2sin(2ωx+
π
3
).
∵函数的周期是π,所以
2π
2ω
=π
,
解得ω=1;
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+
π
3
).
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
解得kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
(k∈Z).
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ-
5π
12
,kπ+
π
12
](k∈Z).
(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x+
π
3
).
f(α)=
2
3
,所以
2
3
=2sin(2x+
π
3
).
∴sin(2x+
π
3
)=
1
3
.
∴
cos(4α+
2
3
π)
=2sin
2
(2x+
π
3
)-1=2×
(
1
3
)
2
-1
=-
7
9
.
举一反三
2cosθ
1-sin2θ
+
1-cos2θ
sinθ
的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设a>0为常数,已知函数f(x)=cos
2
(x-
2π
3
)+sin
2
(x-
5π
6
)+asin
x
2
cos
x
2
的最大值为3,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=cos
2x
5
+sin
2x
5
(x∈R),给出以下命题:①函数f(x)的最大值是2;②周期是
5π
2
;③函数f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离是
5π
2
; ④对任意x∈R,均有f(5π-x)=f(x)成立;⑤点(
15π
8
,0
)是函数f(x)图象的一个对称中心.其中正确命题的序号是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知:关于x的方程2x
2
-(
3
+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π).求:
(1)
tanθsinθ
tanθ-1
+
cosθ
1-tanθ
的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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化简cos
2
(π-α)+tan(π+α)cot(-π-α)+sin(2π-α)cos(π+α)tan(2π+α)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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