函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象如图所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．

题型：不详难度：来源：

函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象如图所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并给予证明；
（2）求函数f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此时x的值．

答案

由函数的对称性知：MN=2MO=2MP，∵MP=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，

MN

sin∠MPN

=

MP

sin∠MNP

，∴

4

sin∠MNP

=

2

sin300

解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP为直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP为等边三角形，…（7分）
故M(1，

3

)，P(2，0)…（8分）
∴A=

3

，T=4，∵ω＞0，∴ω=

2π

4

=

π

2

∴f(x)=

3

sin

π

2

x…（10分）
f（x）最大值为

3

，此时

π

2

x=2kπ+

π

2

，即x=4k+1(k∈Z)…（13分）