对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]⊊D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f

对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]⊊D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f

题型:不详难度:来源:
对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]⊊D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②函数f(x)=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数;
③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数;
④当t≤
3
4
时,函数,f(x)=





2,(x≤1)
log
1
2
(x-t),(x>1)
是区间[0,+∞)上的“平顶型”函数.
其中正确的是______.(填上你认为正确结论的序号)
答案
对于①,根据题意,“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值,故①正确.
对于②,函数f(x)=x-|x-2|=





2x-2,x<2
2,x≥2
,当且仅当x∈[2,+∞)时,函数的最大值为2,符合“平顶型”函数的定义,故②正确.
对于③,函数f(x)=sinx-|sinx|=





2sinx,x∈[2kπ-π,2kπ]
0,x∈[2kπ,2kπ+π]
,但是不存在区间[a,b],对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=2,
所以f(x)不是“平顶型”函数,故③不正确.
对于④当t≤
3
4
时,函数,f(x)=





2,(x≤1)
log
1
2
(x-t),(x>1)
,当且仅当x∈(-∞,1]时,函数的最大值为2,符合“平顶型”函数的定义,故④正确.
故答案为 ①②④.
举一反三
已知x∈[0,2π],如果y=cosx是增函数,且y=sinx是减函数,那么(  )
A.0≤x≤
π
2
B.
π
2
≤x≤π
C.π≤x≤
2
D.
2
≤x≤2π
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设函数f(x)=sin(2x+
π
3
),现有下列结论:
(1)f(x)的图象关于直线x=
π
3
对称;
(2)f(x)的图象关于点(
π
4
,0)对称
(3)把f(x)的图象向左平移
π
12
个单位,得到一个偶函数的图象;
(4)f(x)的最小正周期为π,且在[0,
π
6
]上为增函数.
其中正确的结论有______(把你认为正确的序号都填上)
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已知函数f(x)=2cos2x+2


3
sinxcosx.
(1)求函数f(x)定义在[-
π
6
π
3
]
上的值域.
(2)在△ABC中,若f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求tanA的值.
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y=x-2sinx,x∈[-
π
2
π
2
]
的图象是(  )
A.B.
C.D.
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函数f(x)=sin2x+asin(
π
2
-2x
)的图象关于直线x=-
π
8
对称,则实数a的值为(  )
A.-


2
B.


2
C.-1D.1
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