设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，a-cb-c=sin(A+C)sinA+sinC（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）求函数f(x)=2sin(x+A2)c

题型：不详难度：来源：

设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，

a-c

b-c

=

sin(A+C)

sinA+sinC

（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=2sin(x+

A

2

)cos(x+

A

2

)+2

3

cos2(x+

A

2

)-

3

的单调递增区间．

答案

（Ⅰ）△ABC中，由

a-c

b-c

=

sin(A+C)

sinA+sinC

利用正弦定理可得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
化简可得  a²=b²+c²-bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）函数f(x)=2sin(x+

A

2

)cos(x+

A

2

)+2

3

cos2(x+

A

2

)-

3

=sin（2x+A）+

3

（cos2x+A）
=2sin（2x+A+

π

3

）=2sin（2x+

2π

3

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈z．