已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c，两向量n=(tanB，-3)，m=(a2+c2-b2，ac)满足m⊥n．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ

题型：不详难度：来源：

已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c，两向量

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)满足

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin2A+cos

C-3A

2

的最大值以及此时角A的大小．

答案

（Ⅰ）∵

n

=(tanB，-

3

)，

m

=(a2+c2-b2，ac)，且

m

⊥

n

，
∴（a²+c²-b²）tanB-

3

ac=0，即

a2+c2-b2

2ac

•tanB=

3

2

，
又cosB=

a2+c2-b2

2ac

，tanB=

sinB

cosB

，
∴sinB=

3

2

，
∵B为锐角，∴B=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
则y=2sin²A+cos

C-3A

2

=2sin²A+cos（

π

3

-2A）
=1-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=

3

2

sin2A-

1

2

cos2A+1=sin（2A-

π

6

）+1，…（9分）
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴当2A-

π

6

=

π

2

时，即A=

π

3

时，函数的最大值为2．…（12分）