(1)∵z1=2cosx+isinx,z2=a+bi,a、b∈R,∴(•z2)=(2cosx-isinx)(a+bi)=(2acosx+bsinx)+(2bcosx-asinx)i, 故 Re(1•z2)=2acosx+bsinx, ∴f(x)=cosx•(2acosx+bsinx)=2acos2x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+bsin2x, ∵,∴,∴z2=1+2i. (2)由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=sin(2x+)+1, 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈z,可得 kπ-≤x≤kπ+,k∈z. 再由x∈(-π,π)可得 -π<x≤-、或-≤x≤、或≤x<π, ∴函数f(x)在(-π,π)上的单调递增区间为:(-π,-]、[-,]、[,π). (3)由f(α)=f(β)可得 sin(2α+)=sin(2β+), 故2α+=2kπ+2β+或2α+=2kπ+π-(2β+),k∈Z, 可得 α-β=kπ或α+β=kπ+,k∈Z, ∵已知 α-β≠Kπ,得到 α+β=kπ+,k∈Z, 故有 tan(α+β)=tan(kπ+)=1. |