已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(1,-3),n=(cosA,sinA),m⊥n,且acosC+ccosA=bsinB.(Ⅰ)求角C

已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(1,-3),n=(cosA,sinA),m⊥n,且acosC+ccosA=bsinB.(Ⅰ)求角C

题型:不详难度:来源:
已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量


m
=(1,-


3
)


n
=(cosA,sinA),


m


n
,且acosC+ccosA=bsinB.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)△ABC的面积为
3


3
2
,求a+b的值.
答案
(Ⅰ)由


m


n
,得cosA-


3
sinA=0
,即tanA=


3
3
,∵A∈(0,π),∴A=
π
6
,(2分)
∵acosC+ccosA=bsinB,∴由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=sinBsinB,
即sin(A+C)=sin2B,(4分)
又∵sin(A+C)=sinB,∴sinB=sin2B,∴sinB=1,∴B=
π
2
,∴C=
π
3
.(6分)
(Ⅱ由面积公式得
1
2
absin
π
3
=
3


3
2
,即ab=6
,(8分),又
b
a
= 2

a+b=3


3
.(12分)
举一反三
方程3sinx=sin2x的解集是:______.
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(1)已知:sinα+sinβ=
3
5
cosα+cosβ=
4
5
求cos(α-β)的值
(2)将(1)中已知条件进行适当改变,能否求出sin(α-β)的值,若能求出其值,若不能请说明理由.
(3)你能依此也创设一道类似题吗?或将本例推广到一般情形.
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化简sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
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已知向量


a
=(cosα,sinα)


b
=(cosβ,sinβ)
|


a
-


b
|=
2


3
3
,则cos(α-β)=______.
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解方程:sin2x-
2


3
3
sinxcosx-cos2x=0
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