已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．（1）设BC•CA=CA•AB，求证：△ABC是等腰三角形；BC（2）设向量s=（2sinC，-3），t=（cos

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已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．（1）设BC•CA=CA•AB，求证：△ABC是等腰三角形；BC（2）设向量s=（2sinC，-3），t=（cos

题型：不详难度：来源：
已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．
（1）设


BC
•


CA
=


CA
•


AB
，求证：△ABC是等腰三角形；


BC

（2）设向量


s
=（2sinC，-


3
），


t
=（cos2C，2cos2
C
2
-1），且


s
∥


t
，若sinA=
2
3
，求sin（
π
3
-B）的值．
答案
（1）因为


BC
•


CA
=


CA
•


AB
，所以


CA
•(


BC
-


AB
)=0，又


AB
+


BC
+


CA
=0，所以


CA
=-(


AB
+


BC
)，所以-(


AB
+


BC
)•(


BC
-


AB
)=0，所以


AB
2-


BC
2=0，（4分）
所以|


AB
|2=|


BC
|2，即|


AB
|=|


BC
|，故△ABC为等腰三角形．（6分）
（2）∵


s
∥


t
，∴2sinC(2cos2
C
2
-1)=-


3
cos2C
∴sin2C=-


3
cos2C，即tan2C=-


3
，∵C为锐角，∴2C∈（0，π），
∴2C=
2π
3
，∴C=
π
3
．（8分）
∴A=
2π
3
-B，∴sin(
π
3
-B)=sin[(
2π
3
-B)-
π
3
]=sin(A-
π
3
)．（10分）
又sinA=
2
3
，且A为锐角，∴cosA=


5
3
，（12分）
∴sin(
π
3
-B)=sin(A-
π
3
)=sinAcos
π
3
-cosAsin
π
3
=
2-


15
6
．（14分）
举一反三
已知函数f(x)=


3
sinxcosx+cos2x的最大值______．
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已知向量


m
=(1，1)，向量


n
与向量


m
夹角为
3
4
π，且


m
•


n
=-1，又A、B、C为△ABC的三个内角，且B=
π
3
，A≤B≤C．
（Ⅰ）求向量


n
；
（Ⅱ）若向量


n
与向量


q
=(1，0)的夹角为
π
2
，向量


p
=(cosA，2cos2
C
2
)，试求|


n
+


p
|的取值范围．
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填空题
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，则sin2x的值为______．
（2）已知定义在区间[0，
3π
2
]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称，当x≥
3π
4
时，f（x）=cosx，如果关于x的方程f（x）=a有四个不同的解，则实数a的取值范围为______．

（3）设向量


a
，


b
，


c
满足


a
+


b
+


c
=


0
，(


a
-


b
)⊥


c
，


a
⊥


b
，若|


a
|=1，则|


a
|2+|


b
|2+|


c
|2的值是______．
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已知sin(θ+
π
6
)=
1
3
，θ∈(
π
2
，π)，则sinθ=______．
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sin70°cos25°+sin20°cos115°=______．
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