已知α为锐角，向量a=（sinα，cosα），b=（cos2α，sin2α），且a⊥b（1）求α的值．（2）若x=23a+2b，y=2a+23b，求向量x与y的

题型：山东模拟难度：来源：

已知α为锐角，向量

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），且

a

⊥

b

（1）求α的值．
（2）若

x

=2

3

a

+2

b

，

y

=2

a

+2

3

b

，求向量

x

与

y

的夹角的余弦值．

答案

（1）∵

a

⊥

b

，

a

=（sinα，cosα），

b

=（cos2α，sin2α），
∴

a

•

b

=sinαcos2α+cosαsin2α=0，即sin3α=0
∵α为锐角，得3α∈（0，

3π

2

）
∴3α=π，可得α=

π

3

（2）∵α=

π

3

，得

a

=（sinα，cosα）=（

3

2

，

1

2

），

b

=（cos2α，sin2α）=（-

1

2

，

3

2

），
∴|

a

|=|

b

|=1，且

a

•

b

=0
因此，

x

•

y

=（2

3

a

+2

b

）（2

a

+2

3

b

）
=4

3

a

2+16

a

•

b

+4

3

b

2=8

3

而且|

x

|=

(2 3 a +2 b )2

=4，|

b

|=

(2 a +2 3 b )2

=4
设向量

x

与

y

的夹角为θ，可得cosθ=

x • y

| x |•| y |

=

8 3

4×4

=

3

2

即向量

x

与

y

的夹角的余弦值为

3

2

．