已知z、w、x为复数，且x=（1+3i）•z，w=z2+i且|w|=52．（1）若w为大于0的实数，求复数x．（2）若x为纯虚数，求复数w．

题型：不详难度：来源：

已知z、w、x为复数，且x=（1+3i）•z，w=

z

2+i

且|w|=5

2

．
（1）若w为大于0的实数，求复数x．
（2）若x为纯虚数，求复数w．

答案

（1）∵x=（1+3i）•z，∴z=

x

1+3i

．
若w为大于0的实数，
∵w=

z

2+i

=

x

(1+3i)(2+i)

=

x

-1+7i

，|w|=5

2

，
则有 5

2

=

x

-1+7i

，∴x=-5

2

+35

2

i．
（2）若x为纯虚数，设x=bi，b≠0．
由（1）可得 |

x

-1+7i

|=|

bi

-1+7i

|=5

2

，∴b=±50．
∴w=

x

-1+7i

=

50i

-1+7i

=7-i，或w=

x

-1+7i

=

-50i

-1+7i

=-7+i．