已知z7=1（z∈C且z≠1）．（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值．
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已知z7=1（z∈C且z≠1）．
（1）证明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；
（2）设z的辐角为α，求cosα+cos2α+cos4α的值． |
答案
（1）由z（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）
=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7
=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，
得（z-1）（1+z+z2+z3+z4+z5+z6）=0．（4分）
因为z≠1，z-1≠0，
所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（6分）
（2）因为z7=1．可知|z|=1，
所以z•=1，而z7=1，所以z•z6=1，z6=，同理=z5，=z3，=z3+z5+z6
由（Ⅰ）知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，
即z+z2+z4+=-1，
所以z+z2+z4的实部为-，（8分）
而z的辐角为α时，复数z+z2+z4的实部为cosα+cos2α+cos4α，
所以cosα+cos2α+cos4α=-．（12分） |
举一反三
复数的共轭复数为（ ）| A．-3-i | B．-1-i | C．-1+i | D．-2+2i |
|
| 设复数z1=1+i，z2=x-i（x∈R），若z1•z2为实数，则x等于（ ） |
| 设复数z1=1+2i，z2=2-i，则等于______ |
对于任意两个复数z1=x1+y1i，z2=x2+y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算⊙为：
z1⊙z2=x1x2+y1y2．设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点为O为坐标原点．如果w1⊙w2=0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为 ______． |
| 已知i为虚数单位，复数z=，则复数z在复平面上的对应点位于（ ） |
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