已知数列{an}满足a1=1,且an=13an-1+(13)n(n≥2),且n∈N*),则数列{an}中项的最大值为______.
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已知数列{an}满足a1=1,且an=13an-1+(13)n(n≥2),且n∈N*),则数列{an}中项的最大值为______.
题型:长宁区一模
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足a
1
=1,且a
n
=
1
3
a
n-1
+(
1
3
)
n
(n≥2),且n∈N
*
),则数列{a
n
}中项的最大值为______.
答案
由a
n
=
1
3
a
n-1
+(
1
3
)
n
(n≥2),
得:
3
n
a
n
=
3
n-1
a
n-1
+1
(n≥2),
即
3
n
a
n
-
3
n-1
a
n-1
=1
(n≥2),
所以,{3
n
a
n
}构成以3a
1
=3为首项,以1为公差的等差数列.
则3
n
a
n
=3+(n-1)×1=n+2,
所以,
a
n
=
n+2
3
n
.
令
f(x)=
x+2
3
x
,则
f
′
(x)=
3
x
-(x+2)•
3
x
3
2x
=
3
x
(-x-1)
3
2x
=
-x-1
3
x
,
当x∈(0,+∞)时,f
′
(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以,
a
n
=
n+2
3
n
在n=1时有最大值,最大值
a
1
=
1+2
3
=1
.
则数列{a
n
}中项的最大值为1.
故答案为1.
举一反三
在数列{a
n
}中,a
n
=(n+1)(
7
8
)
n
,则数列{a
n
}中的最大项是第______项.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的首项a
1
>0,
a
n+1
=
3
a
n
2
a
n
+1
(Ⅰ)若
a
1
=
3
5
,请直接写出a
2
,a
3
的值;
(Ⅱ)若
a
1
=
3
5
,求证:{
1
a
n
-1
}是等比数列并求出{a
n
}的通项公式;
(Ⅲ)若a
n+1
>a
n
对一切n∈N
+
都成立,求a
1
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}的前n项和
S
n
=3+
2
n
,则a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{a
n
}中,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,
S
n
=
n
2
+2n+5
,则数列{a
n
}的通项a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
数列
1
1×2
,
1
2×3
,
1
3×4
, …
的一个通项公式是( )
A.
1
n(n-1)
B.
1
n(n+1)
C.
1
(n+1)(n+2)
D.以上都不对
题型:不详
难度:
|
查看答案
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