已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*).(1)设cn=3n+6,{an}是公差为3的等差数列.当b1=1
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已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*).(1)设cn=3n+6,{an}是公差为3的等差数列.当b1=1
题型:上海
难度:
来源:
已知数列{a
n
}、{b
n
}、{c
n
}满足
(
a
n+1
-
a
n
)(
b
n+1
-
b
n
)=
c
n
(n∈
N
*
)
.
(1)设c
n
=3n+6,{a
n
}是公差为3的等差数列.当b
1
=1时,求b
2
、b
3
的值;
(2)设
c
n
=
n
3
,
a
n
=
n
2
-8n
.求正整数k,使得对一切n∈N
*
,均有b
n
≥b
k
;
(3)设
c
n
=
2
n
+n
,
a
n
=
1+
(-1)
n
2
.当b
1
=1时,求数列{b
n
}的通项公式.
答案
(1)∵a
n+1
-a
n
=3,
∴b
n+1
-b
n
=n+2,
∵b
1
=1,
∴b
2
=4,b
3
=8.
(2)∵
a
n
=
n
2
-8n
.
∴a
n+1
-a
n
=2n-7,
∴b
n+1
-b
n
=
n
3
2n-7
,
由b
n+1
-b
n
>0,解得n≥4,即b
4
<b
5
<b
6
…;
由b
n+1
-b
n
<0,解得n≤3,即b
1
>b
2
>b
3
>b
4
.
∴k=4.
(3)∵a
n+1
-a
n
=(-1)
n+1
,
∴b
n+1
-b
n
=(-1)
n+1
(2
n
+n).
∴b
n
-b
n-1
=(-1)
n
(2
n-1
+n-1)(n≥2).
故b
2
-b
1
=2
1
+1;
b
3
-b
2
=(-1)(2
2
+2),
…
b
n-1
-b
n-2
=(-1)
n-1
(2
n-2
+n-2).
b
n
-b
n-1
=(-1)
n
(2
n-1
+n-1).
当n=2k时,以上各式相加得
b
n
-b
1
=(2-2
2
+…-2
n-2
+2
n-1
)+[1-2+…-(n-2)+(n-1)]
=
2-2
n-1
(-2)
1-(-2)
+
n
2
=
2+
2
n
3
+
n
2
.
∴b
n
=
2+
2
n
3
+
n
2
+1
=
2
n
3
+
n
2
+
5
3
.
当n=2k-1时,
b
n
=
b
n+1
-(-1)
n+1
(
2
n
+n)
=
2
n+1
3
+
n+1
2
+
5
3
-(2
n
+n)
=-
2
n
3
-
n
2
+
13
6
∴b
n
=
-
2
n
3
-
n
2
+
13
6
n=2k-1
2
n
3
+
n
2
+
5
3
n=2k
k∈N
+
.
举一反三
已知a
n+1
-a
n
-3=0,则数列{a
n
}是( )
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不确定
题型:不详
难度:
|
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数列{a
n
}满足:
n
a
1
+(n-1)
a
2
+…+2
a
n-1
+
a
n
=(
9
10
)
n-1
+(
9
10
)
n-2
+…+
9
10
+1
(n=1,2,3,…,).
(1)求a
n
的通项公式;
(2)若b
n
=-(n+1)a
n
,试问是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有b
n
≤b
k
成立?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(x•y)=xf(y)+yf(x)成立. 数列{a
n
}满足a
n
=f(2
n
)(n∈N
*
),且a
1
=2.则数列的通项公式a
n
=______.
题型:朝阳区二模
难度:
|
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数列
-
2
1×2
,
4
2×3
,-
8
3×4
,
16
4×5
,…的一个通项公式为______.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,a
n
=(-1)
n
+1(n∈N
*
),则a
4
=______.
题型:不详
难度:
|
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