对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个1都
题型:海淀区二模难度:来源:
对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1.设A0是“0-1数列”,令Ak=T(Ak-1),k=1,2,3,… (Ⅰ) 若数列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求数列A1,A0; (Ⅱ) 若数列A0共有10项,则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由; (Ⅲ)若A0为0,1,记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…求lk关于k的表达式. |
答案
(Ⅰ)由变换T的定义可得A1:0,1,1,0,0,1…(2分)A0:1,0,1…(4分) (Ⅱ) 数列A0中连续两项相等的数对至少有10对 …(5分) 证明:对于任意一个“0-1数列”A0,A0中每一个1在A2中对应连续四项1,0,0,1,在A0中每一个0在A2中对应的连续四项为0,1,1,0, 因此,共有10项的“0-1数列”A0中的每一个项在A2中都会对应一个连续相等的数对, 所以A2中至少有10对连续相等的数对.…(8分) (Ⅲ) 设Ak中有bk个01数对,Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到,所以lk+1=bk,Ak+1中的01数对有两个产生途径:①由Ak中的1得到; ②由Ak中00得到, 由变换T的定义及A0:0,1可得Ak中0和1的个数总相等,且共有2k+1个, 所以bk+1=lk+2k, 所以lk+2=lk+2k, 由A0:0,1可得A1:1,0,0,1,A2:0,1,1,0,1,0,0,1 所以l1=1,l2=1, 当k≥3时, 若k为偶数,lk=lk-2+2k-2,lk-2=lk-4+2k-4,…l4=l2+22. 上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2==(2k-1), 经检验,k=2时,也满足lk=(2k-1). 若k为奇数,lk=lk-2+2k-2lk-2=lk-4+2k-4…l3=l1+2. 上述各式相加可得lk=1+2+23+…+2k-2=1+=(2k+1), 经检验,k=1时,也满足lk=(2k+1). 所以lk=.…(13分) |
举一反三
对于给定的n项数列S={a1,a2,…,an},令f(S)为n-1项数列{,,…,};设x>0,且S={1,x,x2,…,x100},若(S)={},则x的值为( ) |
在数列{an}中,an=n(n-8)-20,这个数列 (1)共有几项为负? (2)从第几项开始递增 (3)有无最小项?若有,求出最小项,若无,说明理由. |
设an=++…+(n∈N*),则an与an+1的大小关系是( )A.an>an+1 | B.an<an+1 | C.an=an+1 | D.与n的值有关 |
|
已知数列2,,4,…,,…,那么8是它的第几项( ) |
数列{an}中,a1=,a2=,an+an+2+an.an+2=1(n∈N*),则a5+a6等于( ) |
最新试题
热门考点