(I)当n≥2时,由已知得Sn2-Sn-12=3n2an, 因为an=Sn-Sn-1≠0,所以Sn+Sn-1=3n2①, 于是Sn+1+Sn=3(n+1)2②, 由②-①得an+1+an=6n+3③, 于是an+2+an+1=6n+9④, 由④-③得an+2-an=6⑤, An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,所以bn=ean 所以=ean+2-an=e6,是常数,即数列{}(n≥2)是常数数列. (II)由①有S2+S1=12,所以a2=12-2a、由③有a3+a2=15,a4+a3=21,所以a3=3+2a,a4=18-2a. 而⑤表明:数列{a2k}和{a2k+1}分别是以a2,a3为首项,6为公差的等差数列, 所以a2k=a2+6(k-1),a2k+1=a3+6(k-1),a2k+2=a4+6(k-1)(k∈N*), 数列{an}是单调递增数列⇔a1<a2且a2k<a2k+1<a2k+2对任意的k∈N*成立. ⇔a1<a2且a2+6(k-1)<a3+6(k-1)<a4+6(k-1) ⇔a1<a2<a3<a4⇔a<12-2a<3+2a<18-2a ⇔<a<. 即所求a的取值集合是M={a|<a<}. (III)弦AnAn+1的斜率为kn==, 任取x0,设函数f(x)=,则f(x)=, 记g(x)=ex(x-x0)-(ex-ex0),则g"(x)=ex(x-x0)+ex-ex=ex(x-x0), 当x>x0时,g′(x)>0,g(x)在(x0,+∞)上为增函数, 当x<x0时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,x0)上为减函数, 所以x≠x0时,g(x)>g(x0)=0,从而f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,x0)和(x0,+∞)上都是增函数. 由(II)知,a∈M时,数列{an}单调递增, 取x0=an,因为an<an+1<an+2,所以kn=<. 取x0=an+2,因为an<an+1<an+2,所以kn+1=>. 所以kn<kn+1,即弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增. |