试题分析:本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式、放缩放、累加法等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问,法一,利用转化已知表达式中的,证明数列为等差数列,通过,再求;法二,利用转化,证明数列为等差数列,直接得到的通项公式;第二问,要证,只需要证中每一项都小于中的每一项,利用放缩法,先得到,,只需证,通过放缩法、累加法证明不等式. (1)法一:由得 当时,,且,故 1分 当时,,故,得, ∵正项数列, ∴ 4分 ∴是首项为,公差为的等差数列. ∴ , ∴ . 6分 法二: 当时,,且,故 1分 由得, 2分 当时, ∴ , 整理得 ∵正项数列,, ∴ , 5分 ∴是以为首项,为公差的等差数列, ∴ . 6分 (2)证明:先证: 7分 . 故只需证, 9分 因为[]2
所以 12分 所以 当取得到不等式,
相加得:
即: 14分 |