设是首项为a,公差为d的等差数列,是其前n项的和。记,其中c为实数。(1)若,且成等比数列,证明:;(2)若是等差数列,证明:。

设是首项为a,公差为d的等差数列,是其前n项的和。记,其中c为实数。(1)若,且成等比数列,证明:;(2)若是等差数列,证明:。

题型:不详难度:来源:
是首项为a,公差为d的等差数列是其前n项的和。记,其中c为实数。
(1)若,且成等比数列,证明:
(2)若是等差数列,证明:
答案
(1)见解析(2)见解析
解析

试题分析:
(1)根据题意时,可得,即得到通项,则可根据成等比数列,得到关系,从而将化为关于的式子.进而证明结论.
(2) 根据是等差数列,可设出,则有,将代入,化简该式为样式,通过令,建立方程组,可解得.则可讨论出.
试题解析:
由题意可知.①
(1)由,得.
又因为成等比数列,所以
,化简得.
因为,所以.因此对于所有的,①有.
从而对于所有的,有
(2)设数列的公差为,则
,代入的表达式,整理得,对于所有的
.

则对于所有的,有.(*)
在(*)式中分别取,得

从而有①,②, ③,
由②③得,代入方程①,得,从而.

,则由,得,与题设矛盾,所以
又因为,所以项和,等比中项;化繁为简的思想,等价代换的思想.
举一反三
设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=" ("    )
A.8
B.6
C.5
D.7

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数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an (n∈N+).若b3=-2,b10=12,则a8="("    )
A.0
B.3
C.8
D.11

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设函数是公差为的等差数列,,则(   )
A.0
B.
C.
D.

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已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
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数列{an}的通项公式是an,若前n项和为10,则项数n为(  )
A.120
B.99
C.110
D.121

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