对于项数为的有穷数列数集，记，即为、、、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、、、、的控制数列是、、、、.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、、、、，写出

对于项数为的有穷数列数集，记，即为、、、中的最大值，并称数列是的控制数列.如、、、、的控制数列是、、、、.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为、、、、，写出

题型：不详难度：来源：

对于项数为

的有穷数列数集

，记

，即

为

、

、

、

中的最大值，并称数列

是

的控制数列.如

、

、

、

、

的控制数列是

、

、

、

、

.
（1）若各项均为正整数的数列

的控制数列为

、

、

、

、

，写出所有的

；
（2）设

是

的控制数列，满足

（

为常数，

、

、

、

）.求证：

.

答案

（1）详见解析；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）根据新数列的定义写出符合条件的数列

；（2）根据数列

的定义得到

，再结合

得到

，将两个等式作差得

，结合

证明

.
试题解析：（Ⅰ）数列

为：

、

、

、

、

；

、

、

、

、

；

、

、

、

、

；

、

、

、

、

；

、

、

、

、

；
（2）因为

，

，所以

.
因为

，

，
所以

，即

，
因此，

.

举一反三

已知

是递增的等差数列，

，

为其前

项和，若

成等比数列，则

.

题型：不详难度：| 查看答案

已知数列{a_n}，

,

,记

,

，

,若对于任意

,A(n)，B(n)，C(n)成等差数列.
（1）求数列{a_n}的通项公式;
（2）求数列{|a_n|}的前n项和.

题型：不详难度：| 查看答案

等差数列

的前

项和为

，则

题型：不详难度：| 查看答案

某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为

级需要的天数为

，

等级	等级图标	需要天数	等级	等级图标	需要天数
1		5	7		77
2		12	8		96
3		21	12		192
4		32	16		320
5		45	32		1152
6		60	48		2496

则等级为

级需要的天数

__________

题型：不详难度：| 查看答案

设等差数列

的公差为

，且

．若设

是从

开始的前

项数列的和，即

，

，如此下去，其中数列

是从第

开始到第

)项为止的数列的和，即

．
(1)若数列

,试找出一组满足条件的

,使得：

；
(2)试证明对于数列

，一定可通过适当的划分，使所得的数列

中的各数都为平方数；
(3)若等差数列

中

．试探索该数列中是否存在无穷整数数列

,使得

为等比数列,如存在,就求出数列

；如不存在，则说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

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