已知数列的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求{an}的通项公式;(2)令Tn= Sn,是否存在正整数m,对一切正整数n,

已知数列的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求{an}的通项公式;(2)令Tn= Sn,是否存在正整数m,对一切正整数n,

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已知数列的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求{an}的通项公式;
(2)令Tn Sn,是否存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)an=2n.(2)m=8或m=9
解析
(1)令n=1,由a1=2及nan1=Sn+n(n+1),①得a2=4,故a2-a1=2,
当n≥2时,有(n-1)an=Sn1+n(n-1),②
①-②,得nan1-(n-1)an=an+2n.整理得an1-an=2(n≥2).
当n=1时,a2-a1=2,所以数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差数列,
故an=2+(n-1)×2=2n.
(2)由(1)得Sn=n(n+1),所以Tn (n2+n).
故Tn1 [(n+1)2+(n+1)],令 
 
解得8≤n≤9.故T1<T2<…<T8=T9>T10>T11>…
故存在正整数m对一切正整数n,总有Tn≤Tm
此时m=8或m=9
举一反三
在等差数列{an}中,a1=2,d=3,则a6=________.
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在等差数列{an}中
(1)已知a4+a14=2,则S17=________;
(2)已知a11=10,则S21=________;
(3)已知S11=55,则a6=________;
(4)已知S8=100,S16=392,则S24=________.
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在等差数列{an}中,S12=354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d=________.
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已知数列{an}为等差数列,若a1=-3,11a5=5a8,则使前n项和Sn取最小值的n=________.
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设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=5,S3=9.
(1)求首项a1和公差d的值;
(2)若Sn=100,求n的值.
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