已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式.

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已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n>1,且6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N^*.求{a_n}的通项公式.

答案

a_n=3n-1

解析

解:由a₁=S₁=(a₁+1)(a₁+2),
解得a₁=1或a₁=2,由已知a₁=S₁>1,因此a₁=2.
又由a_n+1=S_n+1-S_n=(a_n+1+1)(a_n+1+2)- (a_n+1)(a_n+2),
得(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n-3)=0,
因为a_n>0,所以a_n+1-a_n-3=0.
即a_n+1-a_n=3,从而{a_n}是公差为3,首项为2的等差数列,故{a_n}的通项为a_n=3n-1.