设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),求证:{an}为等差数列的充分必要条件是
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设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),求证:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…). |
答案
见解析 |
解析
必要性: 设{an}是公差为d1的等差数列,则 bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2) =(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0, 所以bn≤bn+1(n=1,2,3,…)成立. 又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…), 所以数列{cn}为等差数列. 充分性: 设数列{cn}是公差为d2的等差数列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…). ∵cn=an+2an+1+3an+2,① ∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4,② ①-②,得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2. ∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2, ∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2,③ 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2,④ ④-③,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.⑤ ∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0, ∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…). 由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…),则an-an+2=d3(常数). 由此cn=an+2an+1+3an+2cn=4an+2an+1-3d3, 从而cn+1=4an+1+2an+2-5d3, 两式相减得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3, 因此an+1-an= (cn+1-cn)+d3= d2+d3(常数)(n=1,2,3,…), ∴数列{an}为等差数列. |
举一反三
已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)=________. |
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191009/20191009032241-83969.jpg) 将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测: (1)b2012是数列{an}中的第 项; (2)b2k-1= .(用k表示) |
若数列{n(n+4) n}中的最大项是第k项,则k= . |
已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn= an. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. |
数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为( ) |
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