(1)由已知an=Sn-1+2, ① 得an+1=Sn+2. ② ②-①,得an+1-an=Sn-Sn-1(n≥2), ∴an+1=2an(n≥2). 又a1=2,∴a2=a1+2=4=2a1, ∴an+1=2an(n=1,2,3,…), ∴数列{an}是一个以2为首项,2为公比的等比数列, ∴an=2·2n-1=2n,n∈N*. (2)bn===,∴Tn=bn+1+bn+2+…+b2n=++…+,Tn+1=bn+2+bn+3+…+b2(n+1)=++…+++. ∴Tn+1-Tn=+-==. ∵n是正整数,∴Tn+1-Tn>0,即Tn+1>Tn. ∴数列{Tn}是一个单调递增数列.又T1=b2=,∴Tn≥T1=, 要使Tn>恒成立,则>,即k<6.又k是正整数,故存在最大正整数k=5使Tn>恒成立. |