已知数列的首项为,对任意的,定义.(Ⅰ) 若,(i)求的值和数列的通项公式;(ii)求数列的前项和;(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.

已知数列的首项为,对任意的,定义.(Ⅰ) 若,(i)求的值和数列的通项公式;(ii)求数列的前项和;(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.

题型:不详难度:来源:
已知数列的首项为,对任意的,定义.
(Ⅰ) 若
(i)求的值和数列的通项公式;
(ii)求数列的前项和
(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.
答案
(1) ,,
(2) 当为偶数时,;当为奇数时,
解析

试题分析:(Ⅰ) 解:(i),,     ………………2分

时,
=………4分
适合上式,所以.………………5分
(ii)由(i)得:     ……………6分

……………7分
                             …………8分
(Ⅱ)解:因为对任意的
所以数列各项的值重复出现,周期为.        …………9分
又数列的前6项分别为,且这六个数的和为8. ……………10分
设数列的前项和为,则,
时,
,       ……………11分
时,

 ,                    …………12分

所以,当为偶数时,;当为奇数时,. ……………13分
点评:解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用,并能结合裂项法求和,以及分情况讨论求和,属于中档题。
举一反三
等差数列项和为,则公差d的值为
A.2B.3C.-3D.4

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已知数列是首项为,公比的等比数列. 设,数列满足.
(Ⅰ)求证:数列成等差数列;    
(Ⅱ)求数列的前项和.
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已知等差数列中,,记数列的前项和为,若,对任意的成立,则整数的最小值为
A.5B.4C.3D.2

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1202年,意大利数学家斐波那契在他的书中给出了一个关于兔子繁殖的递推关系:),其中表示第个月的兔子的总对数,,则的值为(   )
A.13B.21C.34D.55

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已知数列的通项公式为,设其前项和为,则使成立的自然数有(  )
A.最大值31B.最小值31C.最大值63D.最小值63

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