已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时

已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时

题型:不详难度:来源:
已知(m为常数,m>0且m≠1).
(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时,求Sn
答案
(1)见解析(2)2n+2·n
解析
本题考查数列的定义的应用,错位相减法,数列与函数相结合,恒成立问题的综合应用,考查分析问题解决问题,转化思想的应用,知识面广,运算量大.
(1)利用f (x)=mx(m为常数,m>0且m≠1).代入an,求出an的表达式,利用等差数列的定义,证明数列{an}是等差数列;
(2)通过bn=an f (an),且数列{bn}的前n项和为Sn,当m=2时,求出Sn的表达式,利用错位相减法求出Sn
解:(1)由题意f(an)=,即
∴an=n+1,(2分)      ∴an+1-an=1,
∴数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列.
(2)由题意=(n+1)·mn+1
当m=2时,bn=(n+1)·2n+1
∴Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1 ①
①式两端同乘以2,得
2Sn=2·23+3·24+4·25+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2 ②
②-①并整理,得
Sn=-2·22-23-24-25-…-2n+1+(n+1)·2n+2
=-22-(22+23+24+…+2n+1)+(n+1)·2n+2
=-22+(n+1)·2n+2
=-22+22(1-2n)+(n+1)·2n+2=2n+2·n.
举一反三
三个正数a、b、c成等比数列,则lga、 lgb、 lgc是( )
A.等比数列B.等差数列
C.既是等差又是等比数列D.既不是等差又不是等比数列

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已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),
(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),,则第60个数对是( )
A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7)

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在数列{an}中,a1=1,
(1)设bn,求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
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已知数列是递增数列,且满足
(Ⅰ)若是等差数列,求数列的通项公式;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中,令,求数列的前项和
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已知等差数列中,,则该数列前9项和               
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