已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时
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已知(m为常数,m>0且m≠1).设(n∈)是首项为m2,公比为m的等比数列.(1)求证:数列是等差数列; (2)若,且数列的前n项和为Sn,当m=2时
题型:不详
难度:
来源:
已知
(m为常数,m>0且m≠1).
设
(n∈
)是首项为m
2
,公比为m的等比数列.
(1)求证:数列
是等差数列;
(2)若
,且数列
的前n项和为S
n
,当m=2时,求S
n
;
答案
(1)见解析(2)2
n
+2
·n
解析
本题考查数列的定义的应用,错位相减法,数列与函数相结合,恒成立问题的综合应用,考查分析问题解决问题,转化思想的应用,知识面广,运算量大.
(1)利用f (x)=m
x
(m为常数,m>0且m≠1).代入a
n
,求出a
n
的表达式,利用等差数列的定义,证明数列{a
n
}是等差数列;
(2)通过b
n
=a
n
f (a
n
),且数列{b
n
}的前n项和为S
n
,当m=2时,求出S
n
的表达式,利用错位相减法求出S
n
;
解:(1)由题意f(a
n
)=
,即
.
∴a
n
=n+1,(2分) ∴a
n
+1
-a
n
=1,
∴数列{a
n
}是以2为首项,1为公差的等差数列.
(2)由题意
=(n+1)·m
n+1
,
当m=2时,b
n
=(n+1)·2
n
+1
∴S
n
=2·2
2
+3·2
3
+4·2
4
+…+(n+1)·2
n
+1
①
①式两端同乘以2,得
2S
n
=2·2
3
+3·2
4
+4·2
5
+…+n·2
n
+1
+(n+1)·2
n
+2
②
②-①并整理,得
S
n
=-2·2
2
-2
3
-2
4
-2
5
-…-2
n
+1
+(n+1)·2
n
+2
=-2
2
-(2
2
+2
3
+2
4
+…+2
n
+1
)+(n+1)·2
n
+2
=-2
2
-
+(n+1)·2
n
+2
=-2
2
+2
2
(1-2
n
)+(n+1)·2
n
+2
=2
n
+2
·n.
举一反三
三个正数a、b、c成等比数列,则lga、 lgb、 lgc是( )
A.等比数列
B.等差数列
C.既是等差又是等比数列
D.既不是等差又不是等比数列
题型:不详
难度:
|
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已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),
(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),
,则第60个数对是( )
A.(3,8)
B.(4,7)
C.(4,8)
D.(5,7)
题型:不详
难度:
|
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在数列{a
n
}中,a
1
=1,
=
+
.
(1)设b
n
=
,求数列{b
n
}的通项公式;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
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|
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已知数列
是递增数列,且满足
(Ⅰ)若
是等差数列,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中
,令
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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已知等差数列
中,
,则该数列前9项和
题型:不详
难度:
|
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