(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-2.(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(an,an+12-2an+1)(n∈
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(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-2.(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(an,an+12-2an+1)(n∈
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=
x
3
+
x
2
-2.
(1)设{
a
n
}是正数组成的数列,前
n
项和为
S
n
,其中
a
1
=3.若点(
a
n
,
a
n
+1
2
-2
a
n
+1
)(
n
∈N
*
)在函数
y
=
f
′(
x
)的图象上,求证:点(
n
,
S
n
)也在
y
=
f
′(
x
)的图象上;
(2)求函数
f
(
x
)在区间(
a
-1,
a
)内的极值.
答案
解析:
(1)证明:因为
f
(
x
)=
x
3
+
x
2
-2,
所以
f
′(
x
)=
x
2
+2
x
,
由点(
a
n
,
a
n
+1
2
-2
a
n
+1
)(
n
∈N
*
)在函数
y
=
f
′(
x
)的图象上,得
a
n
+1
2
-2
a
n
+1
=
a
n
2
+2
a
n
,即(
a
n
+1
+
a
n
)(
a
n
+1
-
a
n
-2)=0.
又
a
n
>0(
n
∈N
*
),所以
a
n
+1
-
a
n
=2.
又因为
a
1
=3,
所以数列{
a
n
}是以3为首项,以2为公差的等差数列,
所以
S
n
=3
n
+×2=
n
2
+2
n
.
又因为
f
′(
n
)=
n
2
+2
n
,所以
S
n
=
f
′(
n
),
故点(
n
,
S
n
)也在函数
y
=
f
′(
x
)的图象上.
(2)
f
′(
x
)=
x
2
+2
x
=
x
(
x
+2),
由
f
′(
x
)=0,得
x
=0或
x
=-2,
当
x
变化时,
f
′(
x
)、
f
(
x
)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f
′(
x
)
+
0
-
0
+
f
(
x
)
极大值
极小值
注意到|(
a
-1)-
a
|=1<2,从而
①当
a
-1<-2<
a
,即-2<
a
<-1时,
f
(
x
)的极大值为
f
(-2)=-,此时
f
(
x
)无极小值;
②当
a
-1<0<
a
,即0<
a
<1时,
f
(
x
)的极小值为
f
(0)=-2,此时
f
(
x
)无极大值;
③当
a
≤-2或-1≤
a
≤0或
a
≥1时,
f
(
x
)既无极大值又无极小值.
解析
略
举一反三
(本小题满分14分)
已知数列
为等差数列,且
,
.
(1) 求数列
的通项公式;
(2) 令
,求证:数列
是等比数列;
(3)令
,求数列
的前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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设等差数列
的前
项和为
,若
,则
等于 ( )
A.18
B.36
C.45
D.60
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
}满足
,
是
与
的等差中项.
(1)求数列{
}的通项公式
;
(2)若满足
,
,求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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在数列
中,
,
,且已知函数
在
处取得极值。
⑴证明:数列
是等比数列
⑵求数列
的通项
和前
项和
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分) 设等差数列{
a
n
}的首项
a
1
为
a
,公差
d
=2,
前
n
项和为
S
n
.
(Ⅰ) 若
S
1
,
S
2
,
S
4
成等比数列,求数列{
a
n
}的通项公式;
(Ⅱ) 证明:
n
∈N*,
S
n
,
S
n
+
1
,
S
n
+
2
不构成等比数列.
题型:不详
难度:
|
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