(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-2.(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(an,an+12-2an+1)(n∈

(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+x2-2.(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(an,an+12-2an+1)(n∈

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3x2-2.
(1)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3.若点(anan+12-2an+1)(n∈N*)在函数yf′(x)的图象上,求证:点(nSn)也在yf′(x)的图象上;
(2)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.
答案

解析:
(1)证明:因为f(x)=x3x2-2,
所以f′(x)=x2+2x
由点(anan+12-2an+1)(n∈N*)在函数yf′(x)的图象上,得an+12-2an+1an2+2an,即(an+1an)(an+1an-2)=0.
an>0(n∈N*),所以an+1an=2.
又因为a1=3,
所以数列{an}是以3为首项,以2为公差的等差数列,
所以Sn=3n+×2=n2+2n.
又因为f′(n)=n2+2n,所以Snf′(n),
故点(nSn)也在函数yf′(x)的图象上.
(2)f′(x)=x2+2xx(x+2),
f′(x)=0,得x=0或x=-2,
x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值


注意到|(a-1)-a|=1<2,从而
①当a-1<-2<a,即-2<a<-1时,f(x)的极大值为f(-2)=-,此时f(x)无极小值;
②当a-1<0<a,即0<a<1时,f(x)的极小值为f(0)=-2,此时f(x)无极大值;
③当a≤-2或-1≤a≤0或a≥1时,f(x)既无极大值又无极小值.
解析

举一反三
(本小题满分14分)
已知数列为等差数列,且
(1) 求数列的通项公式;
(2) 令,求证:数列是等比数列;
(3)令,求数列的前项和.
题型:不详难度:| 查看答案
设等差数列的前项和为,若,则等于     (   )
A.18B.36C.45D.60

题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{}满足的等差中项.
(1)求数列{}的通项公式
(2)若满足,求的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
在数列中,,且已知函数处取得极值。
⑴证明:数列是等比数列
⑵求数列的通项和前项和
题型:不详难度:| 查看答案
(本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1a,公差d=2,
n项和为Sn
(Ⅰ) 若S1S2S4成等比数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ) 证明:n∈N*, SnSn1Sn2不构成等比数列.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.