试题分析:(1)由已知有,即,而数列中,因此已知式变为,这是的递推式,我们可以用代换其中的得,两式相减,可把转化为的递推式,出现了数列相邻项的和时,同样再把这个式子中的用代换,得,两式相减,得,代入可证得为常数;(2)由(1)说明数列的奇数项,偶数项分别成等差数列且公差为6,因此要使数列为递增数列,只要有即可,解这个不等式可得的范围;(3),本题就是要证明,考虑到数列是递增数列,函数是增函数,因此只要证,即证 ,这就是,从的图象上可算出这个结论是正确的,从数上看,取为常数,,我们要证明函数为增函数,这用导数的知识可证. (1)当时,由已知得, 因为,所以. ① 于是, ② 由②-①得, ③ 于是, ④ 由④-③得. ⑤ 所以,即数列是常数数列. (2)由①有,所以.由③有,所以.而⑤表明数列和分别是以为首项,6为公差的等差数列, 所以, 数列是单调递增数列,且对任意的成立, 且 . 即所求取值集合为. (3)解法一:弦的斜率为, 任取,设函数,则, 记,则, 当时,,在上为增函数, 当时,,在上为减函数, 所以时,,从而,所以在和上都是增函数. 由(2)知时,数列单调递增, 取,因为,所以, 取,因为,所以, 所以,即弦的斜率随单调递增. 解法二:设函数,同解法一得,在和上都是增函数, 所以,, 故,即弦的斜率随单调递增. |