试题分析:(1)对于具体的集合 ,我们根据定义直接验证即可,如集合 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195520-66430.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195521-92125.png)
均属于集合 ,故 个有性质 ,而集合 , 均不属于 ,则 不具有性质 ;(2) 易证,等式 变形得 ,联想到等差数列的前 项和求法,是不是有 (这是成立的), (?), (?),…,由于 ,故 ,从而可看出只能是 , , ,…, ,即 成立,②式得证;(3)如果答案是肯定的,必须证明,如果答案是不确定的,则要举例说明, 时,集合 具有性质 ,但不是等差数列, 和 时,具有性质 的集合 中的数列是等差数列, 时易证,首先 ,然后 ,即 ,故 成等差, 时,难一点,由(2)知 ,两式相减可得 ,而由于 ,即 ,则有 ,注意到 ,于是 ,又有 ,故数列 是等差数列, 试题解析:(1)∵ ≒∴集合 具有性质 ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195528-72139.png) , , 集合 不具有性质 . 3分 (2)由已知 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) , 则 ,仍由 知 ; 5分
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195530-55599.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195528-72139.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195530-90861.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) 6分 将上述各式两边相加得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195531-44950.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ,即 ; 8分 (3)当 时,集合 中的数列 一定是等差数列. 由(2)知 ,且 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195532-70509.png) 故 ,而这里 ,反之若不然![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195533-99899.png) 这与集合 中元素互异矛盾, 只能 ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195533-41355.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) 成等差数列. 9分 当 时,集合 中的元素 不一定是等差数列. 如 , 中元素成等差数列, 又如 , 中元素不成等差数列; 11分 当5时,集合 中的元素 一定成等差数列 证明:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195535-54524.png) 令 ① ② ② ①有 ,且由①![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195535-10254.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195528-72139.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195527-48501.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195536-42230.png) 又 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195536-84012.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011195529-13061.png) 成等差数列. 13分 |