试题分析:(1)由于数列 是首项 ,公比 的等比数列,所以通项公式为 .由于数列 为递增数列,所以都符合 .即可得到数列 的通项公式. (2)由于各项都是正整数的无穷数列 ,所以利用反正法的思想,反证法排除 和 即可得到证明. (3)由 各项都是正整数,所以由 可得到 .所以可得到 .从而可得到 是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论. 试题解析:(1) ,
; (2)根据反证法排除 和![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202559-97693.png) 证明:假设 ,又 ,所以 或![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202559-97693.png) ①当 时, 与 矛盾,所以 ; ②当 时,即 ,即 ,又 ,所以 与 矛盾; 由①②可知 . (3)首先 是公差为1的等差数列, 证明如下:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202559-83037.png) 时 , 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202602-54327.png) ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202603-80617.png)
即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202603-11445.png) 由题设 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202604-87559.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202604-78053.png) 即 是等差数列.又 的首项 ,所以 , ,对此式两边乘以2,得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202605-19314.png) 两式相减得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202605-78250.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011202605-86196.png)
, 即 ,当 时, ,即存在最小正整数5使得 成立. 注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明 . |