设各项都是正整数的无穷数列满足:对任意,有.记.(1)若数列是首项,公比的等比数列,求数列的通项公式;(2)若,证明:;(3)若数列的首项,,是公差为1的等差数

设各项都是正整数的无穷数列满足:对任意,有.记.(1)若数列是首项,公比的等比数列,求数列的通项公式;(2)若,证明:;(3)若数列的首项,,是公差为1的等差数

题型:不详难度:来源:
设各项都是正整数的无穷数列满足:对任意,有.记
(1)若数列是首项,公比的等比数列,求数列的通项公式;
(2)若,证明:
(3)若数列的首项是公差为1的等差数列.记,问:使成立的最小正整数是否存在?并说明理由.
答案
(1);(2)参考解析;(3)存在5
解析

试题分析:(1)由于数列是首项,公比的等比数列,所以通项公式为.由于数列为递增数列,所以都符合.即可得到数列的通项公式.
(2)由于各项都是正整数的无穷数列,所以利用反正法的思想,反证法排除即可得到证明.
(3)由各项都是正整数,所以由可得到.所以可得到.从而可得到是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论.
试题解析:(1)

(2)根据反证法排除
证明:假设,又,所以
①当时,矛盾,所以
②当时,即,即,又,所以矛盾;
由①②可知
(3)首先是公差为1的等差数列,
证明如下:

所以

由题设
是等差数列.又的首项,所以,对此式两边乘以2,得

两式相减得
,当时,,即存在最小正整数5使得成立.
注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明
举一反三
一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:为数表中第行的第个数.
求第2行和第3行的通项公式
证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列,并求关于)的表达式;
(3)若,试求一个等比数列,使得,且对于任意的,均存在实数,当时,都有
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已知数列{}中,=+(n,则数列{}的通项公式为(  )
A.B.
C.D.

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已知为等差数列,为其前n项和,则使得达到最大值的n等于          
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已知实数为等比数列,存在等比中项,,则   
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《张丘建算经》卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织________尺布。(不作近似计算)(   )
A.B.C.D.

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