试题分析:(1)仔细阅读题目,其实会发现第2小题已经给我们指明了方向,从第一个数开始适当划分,使每段的和为平方数,同时想办法满足 ,这样既完成了第1小题,又可完成第2小题,从最简单入手, , ,因此思考是否可能有![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011211354-12572.png) 呢? ,这样第1小题完成;(2)这类问题实质就是要我们作出一个符合条件的划分,由(1)的分析,可知只要 ,则所得划分就是符合题意的,事实上, ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011211355-74258.png)
, 是完全平方数;(3)这类问题总是假设存在,然后推导,能求出就说明存在,不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在,可以计算出 ,数列 必定是公比 大于1的整数的等比数列,但事实上, ,从而要求 是完全平方数,这是不可能的,故假设错误,本题结论是不存在. 试题解析:(1)则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011211357-59745.png) ;(4分) (2)记 即 ,又由 , ,所以第二段可取3个数, ;再由 ,即 ,因此第三段可取9个数,即 ,依次下去, 一般地: , (6分) 所以 ,(8分)
(9分) 则 . 由此得证.(11分) (3)不存在.令 ,则 假设存在符合题意的等比数列, 则 的公比必为大于 的整 数,( ,因此 ,即![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191011/20191011211401-96885.png) 此时,注意到, (14分) 要使 成立,则 必为完全平方数,(16分) 但 ,矛盾.因此不存在符合题意的等差数列 .(18分) |