设等差数列的公差为,且.若设是从开始的前项数列的和,即,,如此下去,其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和,即.(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得: ;

设等差数列的公差为,且.若设是从开始的前项数列的和,即,,如此下去,其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和,即.(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得: ;

题型:不详难度:来源:
设等差数列的公差为,且.若设是从开始的前项数列的和,即,如此下去,其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和,即
(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得:
(2)试证明对于数列,一定可通过适当的划分,使所得的数列中的各数都为平方数;
(3)若等差数列.试探索该数列中是否存在无穷整数数列
,使得为等比数列,如存在,就求出数列;如不存在,则说明理由.
答案
(1);(2)证明见解析;(3)不存在,证明见解析.
解析

试题分析:(1)仔细阅读题目,其实会发现第2小题已经给我们指明了方向,从第一个数开始适当划分,使每段的和为平方数,同时想办法满足,这样既完成了第1小题,又可完成第2小题,从最简单入手,,因此思考是否可能有呢?,这样第1小题完成;(2)这类问题实质就是要我们作出一个符合条件的划分,由(1)的分析,可知只要,则所得划分就是符合题意的,事实上,
是完全平方数;(3)这类问题总是假设存在,然后推导,能求出就说明存在,不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在,可以计算出,数列必定是公比大于1的整数的等比数列,但事实上,,从而要求是完全平方数,这是不可能的,故假设错误,本题结论是不存在.
试题解析:(1)则;(4分)
(2)记,又由,所以第二段可取3个数,;再由,即,因此第三段可取9个数,即,依次下去, 一般地:,(6分)
所以,(8分)
(9分)

由此得证.(11分)
(3)不存在.令,则 
假设存在符合题意的等比数列, 则的公比必为大于的整
数,(,因此,即
此时,注意到,  (14分)
要使成立,则必为完全平方数,(16分)
,矛盾.因此不存在符合题意的等差数列.(18分)
举一反三
对于数列,把作为新数列的第一项,把)作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列.例如,数列的一个生成数列是.已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和.
(1)写出的所有可能值;
(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;
(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为
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已知成等差数列,成等比数列,那么的值为(  )
A.B.5或C.D.

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已知等比数列的前项和为,且满足成等差数列,则等于(  )
A.B.C.D.

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等差数列项和,若,则__________.
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已知数列是等差数列,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
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