已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4，3a3，a5成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{an＋1－λan}的前n项和为S

题型：不详难度：来源：

已知等比数列{a_n}的所有项均为正数，首项a₁＝1，且a₄，3a₃，a₅成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求实数λ的值．

答案

（1）a_n＝2^n－1.（2）λ＝1

解析

(1)设数列{a_n}的公比为q，则由条件得q³，3q²，q⁴成等差数列，所以6q²＝q³＋q⁴，q≠0，此方程即q²＋q－6＝0，解得q＝－3(舍去)或q＝2，所以数列{a_n}的通项公式是a_n＝2^n－1.
(2)a_n＋1－λa_n＝2ⁿ－λ·2^n－1＝(2－λ)·2^n－1，显然λ＝2不合题意，λ≠2时，数列{a_n＋1－λa_n}的前n项和为＝(2－λ)·(2ⁿ－1)，与已知比较可得λ＝1.