知数列{an}是首项为,公比为的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*.(1)求证:{bn}为等差数列;(2)设数列{cn}满足cn=anbn,是

知数列{an}是首项为,公比为的等比数列,设bn+15log3an=t,常数t∈N*.(1)求证:{bn}为等差数列;(2)设数列{cn}满足cn=anbn,是

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知数列{an}是首项为,公比为的等比数列,设bn+15log3ant,常数t∈N*.
(1)求证:{bn}为等差数列;
(2)设数列{cn}满足cnanbn,是否存在正整数k,使ckck+1ck+2按某种次序排列后成等比数列?若存在,求kt的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)见解析(2)存在k=1,t=5
解析
(1) an=3-bn+1bn=-15log3=5,
∴{bn}是首项为b1t+5,公差为5的等差数列.
(2)cn=(5nt) ·3-,则ck=(5kt)·3-
令5ktx(x>0),则ckx·3-ck+1=(x+5)·3-ck+2=(x+10)·3-.
①若ck+1ck+2,则2=(x+5)·3-·(x+10)·3-.
化简得2x2-15x-50=0,解得x=10;进而求得k=1,t=5;
②若ckck+2,同理可得(x+5)2x(x+10),显然无解;
③若ckck+1,同理可得 (x+10)2x(x+5),方程无整数根.
综上所述,存在k=1,t=5适合题意.
举一反三
在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是________.
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已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 006a1 007是方程x2-2 012x-2 011=0的两根,则使Sn>0成立的正整数n的最大值是________.
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已知函数f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点x1x2,方程f(x)=m有两个不同的实根x3x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m的值为________.
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设函数f(x)=(x>0),数列{an}满足a1=1,anf (n∈N*,且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tna1a2a2a3a3a4a4a5+…+(-1)n-1·anan+1,若Tntn2n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.
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如图,对大于或等于2的自然数mn次幂进行如下方式的“分裂”:









仿此,62的“分裂”中最大的数是________;20133的“分裂”中最大的数是________.
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