设函数上两点，若，且P点的横坐标为.（Ⅰ）求P点的纵坐标；（Ⅱ）若求；（Ⅲ）记为数列的前n项和，若对一切都成立，试求a的取值范围.

题型：不详难度：来源：

设函数上两点，若，且P点的横坐标为.
（Ⅰ）求P点的纵坐标；
（Ⅱ）若求；
（Ⅲ）记为数列的前n项和，若对一切都成立，试求a的取值范围.

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析

试题分析：（Ⅰ）求点的纵坐标，由于点满足，由向量加法的几何意义可知，是的中点，则，而两点在函数上，故，而，从而可得点的纵坐标；（Ⅱ）根据，，，可利用倒序相加法求和的方法，从而可求的的值；（Ⅲ）记为数列的前n项和，若对一切都成立，试求的取值范围，由（Ⅱ）可知，从而，可用拆项相消法求和，若对一切都成立，即，只需求出的最大值，从而得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）∵，∴是的中点，则------（2分）
∴．∴，所以点的纵坐标为．         （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，
两式相加得
 
∴；   （8分）
（Ⅲ） 
       10分

        12分
         14分