试题分析:(Ⅰ)将代入,依次写出集合的所有元素. (Ⅱ)不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为,关键是理解好“如果是3的倍数,则;如果是被3除余1,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以;如果被3除余2,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以.”得到结论:该7项的等比数列的公比为. (Ⅲ)分“被3除余1,被3除余2,,被3除余0”加以讨论,确定得到的关系为:, 从而利用 进一步得到,所以.数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!) 并对,,加以讨论,得到,. 此题较难,对考生逻辑思维能力要求较高 试题解析:(Ⅰ)集合的所有元素为:4,5,6,2,3,1.. 3分 (Ⅱ)不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为, 如果是3的倍数,则;如果是被3除余1,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以;如果被3除余2,则由递推关系可得,所以是3的倍数,所以. 所以,该7项的等比数列的公比为. 又因为,所以这7项中前6项一定都是3的倍数,而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会多于7项), 设第7项为,则是被3除余1或余2的正整数,则可推得 因为,所以或. 由递推关系式可知,在该数列的前项中,满足小于2014的各项只有: 或,或, 所以首项的所有可能取值的集合为 {,}. 8分 (Ⅲ)若被3除余1,则由已知可得,; 若被3除余2,则由已知可得,,; 若被3除余0,则由已知可得,; 所以, 所以 所以,对于数列中的任意一项,“若,则”. 因为,所以. 所以数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!) 若,结论得证. 若,则;若,则, 所以. 13分 |