对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中, 对自然数,规定为的阶差分数列,其中.(1)已知数列的通项公式,试判断,是否为等差或等比数列,为什么?(2)若数列首项,
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对数列,规定为数列的一阶差分数列,其中, 对自然数,规定为的阶差分数列,其中.(1)已知数列的通项公式,试判断,是否为等差或等比数列,为什么?(2)若数列首项,
题型:不详
难度:
来源:
对数列
,规定
为数列
的一阶差分数列,其中
, 对自然数
,规定
为
的
阶差分数列,其中
.
(1)已知数列
的通项公式
,试判断
,
是否为等差或等比数列,为什么?
(2)若数列
首项
,且满足
,求数列
的通项公式。
(3)对(2)中数列
,是否存在等差数列
,使得
对一切自然
都成立?若存在,求数列
的通项公式;若不存在,则请说明理由。
答案
(1)
是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
(2)
,
,
,
,猜想:
证明:数学归纳法。
(3)组合数性质证得,存在等差数列
,
,使得
对一切自然
都成 。
解析
试题分析:(1)
, 1分
∴
是首项为4,公差为2的等差数列。 2分
3分
∴
是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
4分
(2)
,即
,即
,∴
6分
∵
,∴
,
,
,猜想:
7分
证明:ⅰ)当
时,
;
ⅱ)假设
时,
8分
时,
结论也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知,
10分
(3)
,即
. ...11分
∵
13分
∴存在等差数列
,
,使得
对一切自然
都成 14分
点评:中档题,本题综合性较强,将数列、数学归纳法、二项式系数的性质、组合数公式等综合考查。利用“功能、猜想、证明”的方法,研究得到数列的特征,是常见题型。(3)小题利用二项式系数的性质及组合数公式,得到证明恒等式的目的。
举一反三
数列1,3,6,10,…的一个通项公式a
n
= ( )
A.n
2
-n+1
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列
中,已知
,那么
等于
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设等差数列{
}的前
项和为
,已知
=
,
.
(Ⅰ) 求数列{
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
}的前n项和
;
(Ⅲ)当n为何值时,
最大,并求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)= m·log
2
x + t的图象经过点A(4,1)、点B(16,3)及点C(S
n
,n),其中S
n
为数列{a
n
}的前n项和,n∈N
*
.
(Ⅰ)求S
n
和a
n
;
(Ⅱ)设数列{b
n
}的前n项和为T
n
, b
n
= f(a
n
) – 1, 求不等式T
n
£ b
n
的解集,n∈N
*
.
题型:不详
难度:
|
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已知数列{
}满足
,其中
为实常数,则数列{
}( )
A.不可能是等差数列,也不可能是等比数列
B.不可能是等差数列,但可能是等比数列
C.可能是等差数列,但不可能是等比数列
D.可能是等差数列,也可能是等比数列
题型:不详
难度:
|
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