本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式之间的互化问题,并能结合等差数列的定义得到通项公式,以及跟木同通项公式的特点,求解数列的和,采用了函数的单调性的思想,求解最值,从而得到常数k的值。 (1)根据已知的数列的前n项和与通项公式的关系,可以对于n=1,和n》2分为两种情况来分析得到结论。 (2)根据第一问中的通项公式,表示bn= log2= n+1,和Tn,然后利用整体的单调性来求解参数k的值。 解: (1)当n=1时,a1=S1=2a1-22⇒a1=4; ·········· 1分 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-2n+1)-(2a n-1-2n)⇒an- a n-1=2n,·········· 2分 ⇒- =1,且 =2, ········ 3分 所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列, 则 =2+(n-1)×1=" n" +1,所以an=(n+1)2n,nÎN*. ········ 6分 (2)由(1)得Sn=2an-2n+1=(n+1)2n+1-2n+1=n2n+1, ·········· 8分 则=2n+1,所以bn= log2= n+1, ········ 10分 所以Tn= +++…+ = + + +…+, Tn+1= +++…+++ = +++…+++, Tn+1-Tn= +-=, 又n是正整数,所以Tn+1-Tn=>0,即Tn+1>Tn, 所以数列{Tn}是递增的数列,又T1 ==, ········ 14分 所以Tn≥T1=,要使Tn>恒成立,只需>,即k<6, 又k是正整数,故存在最大正整数k=5,使得Tn>恒成立. 16分 |