(本题满分16分)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

(本题满分16分)已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, (1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

题型:不详难度:来源:
(本题满分16分)
已知数列{an}满足Sn+an=2n+1, 
(1) 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式;
(2) 用数学归纳法证明所得的结论。
答案
(1) a1, a2, a3, 猜测 an=2-  (2)见解析
解析
解: (1) a1, a2, a3, 猜测 an=2- ……5分
(2) ①由(1)已得当n=1时,命题成立;……8分
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-, ……10分
当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-,  ak+1=2-, 即当n=k+1时,命题成立. ……15分
根据①②得n∈N+  , an=2-都成立 ……16分
思路分析:第一问利用Sn+an=2n+1,递推得到a1, a2, a3, 猜测 an=2-
第二问中,1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-,当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-,  ak+1=2-
综上可知成立。
举一反三
设有一个边长为1的正三角形,设为A1,将A1的每边三等分,在中间的线段上向形外作正三角形,去掉中间的线段后得到的图形记为A2,将A2的每边三等分,再重复上述过程,得到图形A3,再重复上述过程,得到图形A4,则A4的周长是_________________。 
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(本题满分14分) 设公比为正数的等比数列的前项和为,已知,数列满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在,使得是数列中的项?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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已知两个正数,可按规则扩充为一个新数,在三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.若,经过6次操作后扩充所得的数为为正整数),则的值为  ▲  
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已知数列满足,且
⑴求的值;
⑵猜想的通项公式,请证明你的猜想.
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已知一个等差数列的前三项分别为,则它的第五项为        
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