本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为, 由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。 解:(1)设数列公差为,由题意可知,即, 解得或(舍去). …………3分 所以,. …………6分 (2)不等式等价于, 当时,;当时,; 而,所以猜想,的最小值为. …………8分 下证不等式对任意恒成立. 方法一:数学归纳法. 当时,,成立. 假设当时,不等式成立, 当时,, …………10分 只要证 ,只要证 , 只要证 ,只要证 , 只要证 ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分 方法二:单调性证明. 要证 只要证 , 设数列的通项公式, …………10分 , …………12分 所以对,都有,可知数列为单调递减数列. 而,所以恒成立, 故的最小值为. |