已知数列,满足:,当时,;对于任意的正整数,.设的前项和为.(1)计算,并求数列的通项公式;(2)求满足的的集合.

已知数列,满足:,当时,;对于任意的正整数,.设的前项和为.(1)计算,并求数列的通项公式;(2)求满足的的集合.

题型:不详难度:来源:
已知数列满足:,当时,;对于任意的正整数.设的前项和为.
(1)计算,并求数列的通项公式;
(2)求满足的集合.
答案
(1)(2)
解析
(1)先求出数列的通项公式是求解本题的关键.由两式相减可得:,所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为,而,故是公差为的等差数列.
(2)在第(1)问的基础上,可求出{}的通项公式,进而求出的通项公式.
然后再根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和,之后再确定sn的单调性进而确定其取值范围.
解:(1)在中,取,得,又,,故同样取可得……………………
两式相减可得:,所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为,而,故是公差为的等差数列,……………………
注:猜想而未能证明的扣分;用数学归纳法证明不扣分.
(2)在中令……………………
,与两式相减可得:,即当时, 
经检验,也符合该式,所以,的通项公式为………………9分
.

相减可得:
利用等比数列求和公式并化简得:……………………11分
可见,……………………12分
经计算,,注意到 的各项为正,故单调递增,所以满足的集合为……………………14分.
举一反三
,若成公差大于0的等差数列,(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.
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已知数列中, =为常数);的前项和,且的等差中项。
(1)求
(2)猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明;
(3)求证以为坐标的点都落在同一直线上。
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设等差数列的前项和为,若,则等于
A.63B.45C.36D.27

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已知是一个等差数列,且.等比数列的前项和为
(I)求的通项公式;
(II)求数列的最大项及相应的值.
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若数列满足,则称数列为“等方比数列”甲:数列为“等比数列”;乙:数列为“等方比数列”;则
A.甲是乙的充分不必要条件,
B.甲是乙的必要不充分条件,
C.甲是乙的充要条件,
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件,

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