对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问

题型：不详难度：来源：

对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．
（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．

答案

（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．       ……2分
数列能结束，各数列依次为；；；．
……………3分
（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．……4分
若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……5分
当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．
当时，数列．
由数列为常数列得，解得，从而数列也为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．         ………8分
所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．
证明：记数列中最大项为，则．
令，，其中．
因为， 所以，
故，证毕．                    ……………9分
现将数列分为两类．
第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．     
第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．
下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）
①当数列中只有一项为时，
若()，则，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若，则；此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；
若，则；；，
此数列各项均不为，为第一类数列．
②当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；
若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③当数列中有三项为时，只能是，则，
，，此数列各项均不为，为第一类数列．
总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．
又因为各数列的最大项是非负整数，
故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．                ………………13分

解析

略