已知函数，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n ?N *），x1＝4．（Ⅰ）用表示xn+1；（Ⅱ）记an=lg，

题型：不详难度：来源：

已知函数，设曲线y＝f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1,0）（n ?N *），x₁＝4．
（Ⅰ）用表示x_n+1；
（Ⅱ）记a_n=lg，证明数列｛a_n｝成等比数列，并求数列｛x_n｝的通项公式；
（Ⅲ）若b_n＝x_n－2，试比较与的大小．

答案

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解析

解：（Ⅰ）由题可得                    ．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．                         ．．．．．．．．．．．．．．．4分
令，得，即．
显然，∴．                  ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由，知，同理．
　　　故．
从而，即．所以，数列成等比数列． ．．．8分
故，即，从而，
所以．                                ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴ ；                                 ．．．．．．．．．．．12分
∴，              
故< ．                                              ．．．．．．．．．．．．14分