解:(新编题) (1)∵ , ,∴ ,-------------------------2分 ∴ . ∵ 成等差数列,∴ , 即 ,∴ .---------------------------------------------------5分 解得 ,或 (舍去).-----------------------------------------------------------------6分 (2)∵ , , ∴ ,-------------------8分 ∴ ,------------------------------------------9分 又 ,∴数列 的通项公式是 .-----------------------------------10分 (3)证明:∵数列 是首项为1,公比为 的等比数列,∴ .---------11分 ∵ , , ∴ , ① , ② ①式两边乘以 得 ③ 由②③得 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013023604-54766.gif) 将 代入上式,得 .-----------------------------------------14分 另证: 先用错位相减法求 ,再验证 . ∵数列 是首项为1,公比为 的等比数列,∴ . --------------11分 又 ,所以
①
② 将①乘以2得: ③ ①-③得: , 整理得: -------------------------12分 将②乘以 得: ④ ②-④整理得:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191013/20191013023606-37790.gif) -----------------------------------------13分 ∴ -----------------------------------------14分 |