（本小题满分14分）在数列和中，已知，其中且。（I）若，求数列的前n项和；（II）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；（III）设集合，试问在区间[

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
在数列和中，已知，其中且。
（I）若，求数列的前n项和；
（II）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；
（III）设集合，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。

答案

（1）（2）略（3）b=1

解析

（I）因为          …………1分
由
所以                                           …………3分
因为                                 …………4分
所以是等差数列，                             …………4分
所以数列…………5分
（II）由已知
假设成等比数列，其中，且彼此不等，
则                         …………6分

可得矛盾。                                          …………7分
为无理数，
所以是整数矛盾。  …………9分
所以数列中的任意三项都不能构成等比数列。
（III）设存在实数，

所以整除。                                          …………10分
（1）当
所以                                                  …………11分
（2）当，

所以，当且仅当整除。          …………12分
（3）当时，

整除。                                                …………13分
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使成立，且当b=1时，

…………14分