已知数列的前项和满足，且 （1）求k的值；（2）求；（3）是否存在正整数，使成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由.

题型：不详难度：来源：

已知数列的前项和满足，且 
（1）求k的值；
（2）求；
（3）是否存在正整数，使成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，说明理由.

答案

（1）；（2） ；（3）存在正整数

解析

(1)
又，∴    
(2) 由 (1) 知     ①
当时， ②
①－②，得  
又，易见
于是是等比数列，公比为，所以    
(3) 不等式，即.；整理得 
假设存在正整数使得上面的不等式成立，由于2ⁿ为偶数，为整数，
则只能是
    
因此，存在正整数