在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.

题型：不详难度：来源：

在等差数列{a_n}中，已知a₁=20,前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值.

答案

当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为S₁₂= 130.

解析

方法一 ∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，
∴10×20+d=15×20+d，
∴d=-.                                                                  4分
∴a_n=20+（n-1）×(-)=-n+.                                           8分
∴a₁₃="0.                                                                   " 10分
即当n≤12时，a_n＞0,n≥14时，a_n＜0.
∴当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为
S₁₂=S₁₃=12×20+(-)="130.                          "                  14分
方法二 同方法一求得d=-.                                                 4分
∴S_n=20n+·(-)
=-n²+n
=-+.                                                      8分
∵n∈N₊,∴当n=12或13时，S_n有最大值，
且最大值为S₁₂=S₁₃="130.                                    "                   14分
方法三 同方法一得d=-.                                                   4分
又由S₁₀=S₁₅,得a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅="0.                                             " 8分
∴5a₁₃=0,即a₁₃="0.                                                           " 10分
∴当n=12或13时，S_n有最大值，
且最大值为S₁₂=S₁₃="130.                                                      " 14分